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QUÉ ES LA NOTACIÓN CIENTÍFICA 3
Texto: José Antonio E. García Álvarez
Contenido:  Introducción Representación de números enteros y decimales en notación    científica > Operaciones matemáticas básicas en notación científica Notación de ingeniería OPERACIONES MATEMÁTICAS BÁSICAS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA Al    igual    que    ocurre    con    las    operaciones    matemáticas    básicas cuando    empleamos    números    enteros    o    decimales,    los    valores representados    en    notación    científica    también    permiten    realizar operaciones   de   suma,   resta,   multiplicación   y   división,   tal   como   se muestra en los siguientes ejemplos: SUMA Y RESTA SUMA: 1.-   Suma   de   números   enteros   con   bases   10   de   exponentes iguales . (4 x 10 6 ) + (2 x 10 6 ) = (4 + 2) x 10 6  = (Resultado final de la operación) 2.-   Suma   de   números   enteros   con   bases   10   de   exponentes diferentes. Para    realizar    esta    operación    es    necesario    igualar    primero    los exponentes de las bases. (5 x 10 4 ) + (7 x 10 3 ) = (Los    exponentes    de    las    bases    se    han igualado   y   el   número   7   de   la   mantisa   ha pasado   a   ser   0,7   para   que   el   exponente de su base 10 pase a ser, a su vez, “4”). (5 + 0,7) x 10 4  = (Resultado final de la operación) 3.-   Suma   de   números   decimales   con   bases   10   de   exponentes iguales . (9,3 x 10 -5 ) + (1,7 x 10 -5 ) = (9,3 + 1,7) x 10 -5  = 11 x 10 -5  = (Resultado no estandarizado) (Resultado final estandarizado) 4.-   Suma   de   números   decimales   con   bases   10   de   exponentes diferentes.    En    esta    suma    también    hay    que    proceder    a igualar el exponente de una de las bases. (4,7 x 10 5  ) + (2,9 x 10 3 ) = (Los    exponentes    se    han    igualado, convirtiendo   2,9   en   0,029   con   base de exponente “5”) (4,7 + 0,029) x 10 5  = (Resultado final de la operación) RESTA: Al    igual    que    ocurre    con    la    suma,    para    realizar    operaciones matemáticas    de    resta    de    números    en    notación    científica    es necesario    igualar    los    exponentes    de    las    bases    10    de    ambos números en caso que no sean iguales. 1.- Resta de números con bases 10 de exponentes iguales. (7,1 x 10 7 ) – (4,6 x 10 7 ) = (7,1 – 4,6) x 10 7  = (Resultado final de la operaci ón) 2.- Resta de números con bases 10 de exponentes diferentes. (2,5 x 10 -6 ) – (4 x 10 -7 ) = (Se    han    igualado    los    exponentes.    El número     decimal     2,5     de     la     primera mantisa   ha   pasado   a   ser   25   para   poder igualar el exponente de su base a “-7” ) (25 – 4) x 10 -7  = (Aquí   se   ha   obtenido   un   resultado   “no   estandarizado” por contener la mantisa un número mayor que 10) (Resultado    final    “estandarizado”.    Como    se    puede apreciar    el    número    entero    “21”    resultante    de    la operación   anterior   lo   hemos   convertido   aquí   en   el decimal   “2,1”   corriendo   el   punto   un   lugar   hacia   la izquierda.   De   esa   forma   la   base   10   ha   cambiado   de exponente “-7” a exponente “-6”) MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN MULTIPLICACIÓN: Para   multiplicar   dos   números   en   notación   científica,   se   procede primero   a   efectuar   dicha   operación   con   sus   respectivas   mantisas   y a continuación se suman los exponentes de sus bases 10. 1.-    Multiplicación    con    bases    de    exponentes    diferentes    del mismo signo. (9,3 x 10 6 ) (1,7 x 10 4 ) = (9,3 x 1,7) x 10 6+4  = 15,81 x 10 10  = (Resultado no estandarizado) (Resultado final estandarizado) 2.-     Multiplicación     de     bases     de     exponentes     con     signos diferentes. (6,2 x 10 8 ) (5,3 x 10 -12 ) = (Cuando   se   multiplican   signos   diferentes, como      en      este      caso      donde      resulta necesario    romper    o    abrir    el    paréntesis para    realizar    la    operación    de    suma,    el resultado    que    se    obtiene    es    un    signo negativo   –“.   Por   tanto   la   operación   «de suma»   pasa   a   ser   «de   resta»   al   multiplicar el    signo    “+”    por    el    signo    “–“.    Por    el contrario,    cuando    se    multiplican    signos iguales,    ya    sean    dos    positivos,    o    dos negativos,    el    resultado    que    se    obtiene siempre es un signo positivo “+” ) 32,86 x 10 8-12 32,86 x 10 -4   (Resultado no estandarizado) (Resultado final estandarizado) DIVISIÓN: Para    hallar    el    resultado    de    dividir    dos    cifras    expresadas    en notación       científica,       se       dividen       primero       los       valores correspondientes    a    las    respectivas    mantisas    y    se    restan    los valores de los exponentes que muestran cada una de sus bases. 1.-    División    de    cifras    en    notación    científica    de    bases    con exponentes de signos positivos. (En    este    punto,    cuando    se    realiza    la    operación matemática      de      división,      el      exponente      “+4” correspondiente    a    la    base    del    divisor,    pasa    a    ser negativo “-4” ) (Resultado final de la operación) 2.-    División    de    cifras    en    notación    científica    de    bases    con exponentes de signos negativos. (En      este      punto,      al      realizarse      la      operación matemática       de       división,       el       exponente“-9”, correspondiente   a   la   base   del   divisor,   pasa   a   ser positivo “+9” ) (Resultado final de la operación) 3.-    División    de    cifras    con    bases    de    exponentes    de    signos diferentes. (El   exponente   “-3”   de   la   base   10   del   divisor,   pasa   a   ser positivo “+3”) (Resultado final de la operación) POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN NOTACIÓN CIENTÍFICA Además   de   las   cuatro   operaciones   básicas   de   matemáticas,   con   la notación   científica   se   pueden   realizar   también   otras   operaciones como, por ejemplo, potenciación y radicación. POTENCIACIÓN: En   la   operación   matemática   de   potenciación,   la   mantisa   de   la expresión   numérica   en   notación   científica   se   eleva   al   exponente externo,   mientras   que   el   exponente   de   la   base   10   se   multiplica, igualmente,   por   el   exponente   externo   al   que   se   quiere   elevar   el número de la mantisa de la notación científica. Ejemplo: (5 x 10 4 ) 3  = (5) 3  x 10 4x3  = 125 x 10 12   (Resultado no estandarizado) (Resultado final estandarizado) RADICACIÓN: Para   efectuar   la   radicación   en   notación   científica,   el   primer   paso es   transformar   el   exponente   de   la   base   10   de   la   mantisa   en   un número   que   sea   múltiplo   del   número   que   se   indica   en   la   raíz   (2 para    la    raíz    cuadrada,    3    para    la    cúbica,    etc.)    en    caso    que originalmente   no   sea   divisible.   Una   vez   realizada   esta   operación se   halla   la   raíz   de   la   mantisa   por   separado   y   el   exponente   de   la base 10 se divide por el de la raíz. Ejemplos: 1.-   El   siguiente   ejemplo   se   basa   en   hallar   la   raíz   cuadrada   de 1,6   cuya   base   10   tiene   como   exponente   el   número   “27” (que   no   es   múltiplo   de   “2”   como   debe   responder   a   esa raíz).   Por   tanto,   habrá   que   correr   la   coma   de   la   mantisa con   el   número   decimal   “1,6”   un   espacio   a   la   derecha   para convertirla   en   el   número   entero   “16”   y   poder   cambiar   así el   exponente   “27”   de   la   base   10   a   exponente   “26”,   que   es múltiplo de “2”. (Resultado final de la operación) 2.-   Veamos   ahora   otro   ejemplo   para   hallar   la   raíz   cúbica   de   la notación científica 6,4 cuya base 10 tiene exponente “13”: (Resultado final de la operación)
6 x 106 (5 x 104) + (0,7 x 104) = 5,7 x 104 1,1 x 10-4 (4,7 x 105 ) + (0,029 x 105) = 4,729 x 105 2,5 x 107 (25 x 10-7) – (4 x 10-7) = 21 x 10-7 2,1 x 10-6 1,58 x 1011 (6,2 x 5,3) x 108+(-12) = 3,286 x 10-3 6 x 1017  3 x 104 = x 1017-4 =  6 3 2 x 1013 8,4 x 10-6  2,4 x 10-9 = 8,4 2,4 x 10-6+9 = 3,5 x 103 8 x 105  4 x 10-3 = 8   4  = x 105+3 2 x 108 1,25 x 1014 16 x 1026    =  1,6 x 1027   = 16 x 1026 / 2  = 4 x 1013 6,4 x 1013   = 3 64 x 1012    = 3 64 x 1012 / 3 = 3 4 x 104
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Texto: José Antonio E. García Álvarez
Contenido:  Introducción Representación de números enteros y decimales en notación científica > Operaciones matemáticas básicas en notación científica Notación de ingeniería OPERACIONES MATEMÁTICAS BÁSICAS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA Al    igual    que    ocurre    con    las    operaciones    matemáticas básicas   cuando   empleamos   números   enteros   o   decimales, los   valores   representados   en   notación   científica   también permiten       realizar       operaciones       de       suma,       resta, multiplicación    y    división,    tal    como    se    muestra    en    los siguientes ejemplos: SUMA Y RESTA SUMA: 1.-    Suma    de    números    enteros    con    bases    10    de exponentes iguales . (4 x 10 6 ) + (2 x 10 6 ) = (4 + 2) x 10 6  = (Resultado final de la operación) 2.-    Suma    de    números    enteros    con    bases    10    de exponentes diferentes. Para   realizar   esta   operación   es   necesario   igualar   primero los exponentes de las bases. (5 x 10 4 ) + (7 x 10 3 ) = (Los   exponentes   de   las   bases   se han   igualado   y   el   número   7   de   la mantisa    ha    pasado    a    ser    0,7 para    que    el    exponente    de    su base   10   pase   a   ser,   a   su   vez, “4”). (5 + 0,7) x 10 4  = (Resultado final de la operación) 3.-    Suma    de    números    decimales    con    bases    10    de exponentes iguales . (9,3 x 10 -5 ) + (1,7 x 10 -5 ) = (9,3 + 1,7) x 10 -5  = 11 x 10 -5  = (Resultado no estandarizado) (Resultado final estandarizado) 4.-    Suma    de    números    decimales    con    bases    10    de exponentes   diferentes.   En   esta   suma   también   hay que   proceder   a   igualar   el   exponente   de   una   de   las bases. (4,7 x 10 5  ) + (2,9 x 10 3 ) = (Los     exponentes     se     han igualado,     convirtiendo     2,9 en     0,029     con     base     de exponente “5”) (4,7 + 0,029) x 10 5  = (Resultado final de la operación) RESTA: Al   igual   que   ocurre   con   la   suma,   para   realizar   operaciones matemáticas   de   resta   de   números   en   notación   científica   es necesario    igualar    los    exponentes    de    las    bases    10    de ambos números en caso que no sean iguales. 1.-    Resta    de    números    con    bases    10    de    exponentes iguales. (7,1 x 10 7 ) – (4,6 x 10 7 ) = (7,1 – 4,6) x 10 7  = (Resultado final de la operaci ón) 2.-    Resta    de    números    con    bases    10    de    exponentes diferentes. (2,5 x 10 -6 ) – (4 x 10 -7 ) = (Se   han   igualado   los   exponentes. El    número    decimal    2,5    de    la primera   mantisa   ha   pasado   a   ser 25      para      poder      igualar      el exponente de su base a “-7” ) (25 – 4) x 10 -7  = (Aquí     se     ha     obtenido     un     resultado     “no estandarizado”    por    contener    la    mantisa    un número mayor que 10) (Resultado    final    “estandarizado”.    Como    se puede     apreciar     el     número     entero     “21” resultante   de   la   operación   anterior   lo   hemos convertido   aquí   en   el   decimal   “2,1”   corriendo el   punto   un   lugar   hacia   la   izquierda.   De   esa forma   la   base   10   ha   cambiado   de   exponente “-7” a exponente “-6”)
6 x 106 (5 x 104) + (0,7 x 104) = 5,7 x 104 1,1 x 10-4 (4,7 x 105 ) + (0,029 x 105) = 4,729 x 105 2,5 x 107 (25 x 10-7) – (4 x 10-7) = 21 x 10-7 2,1 x 10-6
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MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN MULTIPLICACIÓN: Para    multiplicar    dos    números    en    notación    científica,    se procede    primero    a    efectuar    dicha    operación    con    sus respectivas    mantisas    y    a    continuación    se    suman    los exponentes de sus bases 10. 1.-   Multiplicación   con   bases   de   exponentes   diferentes del mismo signo. (9,3 x 10 6 ) (1,7 x 10 4 ) = (9,3 x 1,7) x 10 6+4  = 15,81 x 10 10  = (Resultado no estandarizado) (Resultado final estandarizado) 2.-   Multiplicación   de   bases   de   exponentes   con   signos diferentes. (6,2 x 10 8 ) (5,3 x 10 -12 ) = (Cuando     se     multiplican     signos diferentes,    como    en    este    caso donde   resulta   necesario   romper   o abrir   el   paréntesis   para   realizar   la operación   de   suma,   el   resultado que     se     obtiene     es     un     signo negativo      –“.      Por      tanto      la operación   «de   suma»   pasa   a   ser «de   resta»   al   multiplicar   el   signo “+”     por     el     signo     “–“.     Por     el contrario,    cuando    se    multiplican signos     iguales,     ya     sean     dos positivos,     o     dos     negativos,     el resultado   que   se   obtiene   siempre es un signo positivo “+” ) 32,86 x 10 8-12 32,86 x 10 -4   (Resultado no estandarizado) (Resultado final estandarizado) DIVISIÓN: Para   hallar   el   resultado   de   dividir   dos   cifras   expresadas   en notación     científica,     se     dividen     primero     los     valores correspondientes   a   las   respectivas   mantisas   y   se   restan los   valores   de   los   exponentes   que   muestran   cada   una   de sus bases. 1.-   División   de   cifras   en   notación   científica   de   bases con exponentes de signos positivos. (En     este     punto,     cuando     se     realiza     la operación      matemática      de      división,      el exponente   “+4”   correspondiente   a   la   base   del divisor, pasa a ser negativo “-4” ) (Resultado final de la operación) 2.-   División   de   cifras   en   notación   científica   de   bases con exponentes de signos negativos. (En   este   punto,   al   realizarse   la   operación matemática    de    división,    el    exponente“-9”, correspondiente   a   la   base   del   divisor,   pasa a ser positivo “+9” ) (Resultado final de la operación) 3.-    División    de    cifras    con    bases    de    exponentes    de signos diferentes. (El   exponente   “-3”   de   la   base   10   del   divisor, pasa a ser positivo “+3”) (Resultado final de la operación)
1,58 x 1011 (6,2 x 5,3) x 108+(-12) = 3,286 x 10-3 6 x 1017  3 x 104 = x 1017-4 =  6 3 2 x 1013 8,4 x 10-6  2,4 x 10-9 = 8,4 2,4 x 10-6+9 = 3,5 x 103 8 x 105  4 x 10-3 = 8   4  = x 105+3 2 x 108
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POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN NOTACIÓN   CIENTÍFICA Además      de      las      cuatro      operaciones      básicas      de matemáticas,   con   la   notación   científica   se   pueden   realizar también       otras       operaciones       como,       por       ejemplo, potenciación y radicación. POTENCIACIÓN: En   la   operación   matemática   de   potenciación,   la   mantisa   de la   expresión   numérica   en   notación   científica   se   eleva   al exponente   externo,   mientras   que   el   exponente   de   la   base 10   se   multiplica,   igualmente,   por   el   exponente   externo   al que    se    quiere    elevar    el    número    de    la    mantisa    de    la notación científica. Ejemplo: (5 x 10 4 ) 3  = (5) 3  x 10 4x3  = 125 x 10 12   (Resultado no estandarizado) (Resultado final estandarizado) RADICACIÓN: Para   efectuar   la   radicación   en   notación   científica,   el   primer paso   es   transformar   el   exponente   de   la   base   10   de   la mantisa   en   un   número   que   sea   múltiplo   del   número   que   se indica   en   la   raíz   (2   para   la   raíz   cuadrada,   3   para   la   cúbica, etc.)   en   caso   que   originalmente   no   sea   divisible.   Una   vez realizada   esta   operación   se   halla   la   raíz   de   la   mantisa   por separado   y   el   exponente   de   la   base   10   se   divide   por   el   de la raíz. Ejemplos: 1.-    El    siguiente    ejemplo    se    basa    en    hallar    la    raíz cuadrada     de     1,6     cuya     base     10     tiene     como exponente   el   número   “27”   (que   no   es   múltiplo   de “2”   como   debe   responder   a   esa   raíz).   Por   tanto, habrá    que    correr    la    coma    de    la    mantisa    con    el número   decimal   “1,6”   un   espacio   a   la   derecha   para convertirla    en    el    número    entero    “16”    y    poder cambiar    así    el    exponente    “27”    de    la    base    10    a exponente “26”, que sí es múltiplo de “2”. (Resultado final de la operación) 2.-    Veamos    ahora    otro    ejemplo    para    hallar    la    raíz cúbica   de   la   notación   científica   6,4   cuya   base   10 tiene exponente “13”: (Resultado final de la operación)
1,25 x 1014 16 x 1026    =  1,6 x 1027   = 16 x 1026 / 2  = 4 x 1013 6,4 x 1013   = 3 64 x 1012    = 3 64 x 1012 / 3 = 3 4 x 104